Generalizações do Teorema de Pitágoras: O Teorema de Pitágoras em 3D

     Como podemos ver no Applet a seguir o teorema de Pitágoras no plano tem uma extensão natural no espaço.  

    Mas, será que este teorema tem uma "versão espacial", ou seja, uma generalização do teorema no espaço?    
    Para mostrar esta "versão 3D” vamos experimentar enxergar de outra forma o teorema no plano, ou seja, em “2D” (como diriam nossas crianças).

    Para tanto, consideremos inicialmente que o principal do teorema é a perpendicularidade (!) que em uma dimensão (na reta) não existe.E, então,consideremos em uma reta r qualquer um ponto O e tomemos todas as perpendiculares à r que passam por este ponto. Quantas são estas retas? Uma e somente uma! Então seja s esta tal reta. Interceptando as retas r e s por uma reta transversal t em pontos A e B – de r e s, respectivamente – distintos de O, o teorema afirma que o quadrado da medida linear do segmento obtido da interseção da transversal t é igual à soma dos quadrados das medidas lineares dos segmentos determinados pelas interseções desta transversal t e o ponto O.

    Naturalmente, se quisermos estender este resultado, sob esta forma, para o caso 3D, devemos tomar seus elementos com uma dimensão a mais. Mais precisamente, devemos tomar em um plano Pi um ponto O e todos os planos que são perpendiculares à Pi passando por O. Sendo exatamente dois os planos com esta propriedade denotemo-os por Alfa e Beta. Desta forma Pi, Alfa e Beta formam um triedro tri retângulo. Interceptando este triedro por um plano Theta secante aos três por retas que não passam por O, o que queremos que aconteça é que a soma dos quadrados das medidas de superfície (área) das regiões planas determinadas em cada plano do triedro seja igual ao quadrado da medida de superfície determinada no plano secante pela interseção com o triedro. E isto de fato ocorre, ele é conhecido segundo Eves [1] como Teorema de Gua, devido ao matemático J. P. de Gua de Malves (1712-1785[AS1] ), que o apresentou a Academia de Ciências de Paris em 1783. O teorema, entretanto, era conhecido por Descartes (1596-1650) e seu contemporâneo J. Faulhaber (1580-1635[AS2] ). E, é também, um caso especial de um teorema mais geral que o matemático francês D’Amondans Charles de Tinseau (1748 – 1822[AS3] ) apresentou à Academia das Ciências de Paris em 1774. Tinseau provou que a soma dos quadrados das áreas das projeções ortogonais de uma figura qualquer sobre três planos ortogonais dois a dois é igual ao quadrado da área desta figura.

     Costumamos enunciar o Teorema de Gua da seguinte forma:

“O quadrado da área da base de um tetraedro trirretangulo é igual à soma dos quadrados das áreas de suas outras três faces.”

    Note que em nossa conjectura a união do triedro trirretângulo com o triângulo determinado no plano secante é, de fato, um tetraedro trirretangular cujo ângulo triedro retângulo é chamado de ângulo retângulo.

    O Applet a seguir ilustra os Teoremas de Gua e Tinseau. Use os comandos para girar o triedro até que sua visão do circulo coincida com as projeções dele em cada face do triedro.

    No lado direito do Applet aparecem as faces do tetraedro (em outra escala!) com as devidas áreas assinaladas. Modifique o plano secante para modificar o tetraedro e verifique a validade do Teorema.

      Abraços.

      Prof. André Silva.

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Prof. André Silva, Criado com GeoGebra

 [AS1]Retirado de Eves, H. Great Moments after 1650, pg 37.

 [AS2]Retirado do Eves, H. Great Moments. Disponível em http://www-history.mcs.stand.ac.uk/Mathematicians/Faulhaber.html.

 [AS3]Retirado de Eves, H.Great Moments, pg. 37. Disponível em http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tinseau.html.